14.10.2009

Strategia care rezolvă “problema celor două plicuri”

S-a realizat un pas important către soluţionarea unei probleme aparent simple, dar care până în momentul de faţă nu putuse fi rezolvată.


Categorie: Alte domenii
Autor: Adrian Mititelu



S-a realizat un pas important către soluţionarea unei probleme aparent simple, dar care până în momentul de faţă nu putuse fi rezolvată. Despre ce anume este vorba ? Pentru cei care nu cunosc problema, dar şi pentru a reaminti celorlalţi, în cele ce urmează, am să procedez la o scurtă descriere a acesteia.

Un jucător trebuie să aleagă între două plicuri ce conţin anumite sume de bani. Odată ce a ales unul dintre plicuri, îl va deschide pentru a vedea ce sumă de bani se află în interior. Acum, are posibilitatea de a alege între a schimba plicul cu celălalt rămas sau de a rămâne cu plicul ales iniţial. În celălalt plic se regăseşte o sumă ori de două ori mai mare decât cea din plicul ales, ori de două ori mai mică. Ce ar trebui să facă jucatorul : să schimbe sau nu plicul ?

Bineînteles, această întrebare pare fără răspuns, şansa ca în celălalt plic să fie o sumă de bani de două ori mai mare decât în primul plic fiind egală cu şansa de a fi o sumă de două ori mai mică. Cu toate acestea, teoria probabilităţii ne spune că cea mai buna alegere este aceea de a schimba plicul.

Pentru a înţelege mai bine problema, haideţi să exemplificăm.

Să presupunem că în plicul pe care l-am ales se regăsesc 10 lei. Asta înseamnă că în celălalt plic se află fie 2 x 10 lei, fie 10 : 2 lei, deci, ori 20 lei, ori 5 lei. Acum, să calculăm o aşa numită valoare aşteptată, adică să ponderăm valorile ce s-ar putea afla în plic, probabilitatea de apariţie a uneia sau alteia dintre valori fiind de 50% : (0.5 x 5 lei) + (0.5 x 20 lei) = 12.5 lei. Deci, media ponderată a valorilor ce s-ar putea afla in cel de-al doilea plic este de 12.5 lei (valoare mai mare decat suma găsită în primul plic, respectiv 10 lei). Indiferent de valorile pe care le vom utiliza, media ponderată va fi cu 25% mai mare decât suma din primul plic.

După cum am spus mai sus, teoria probabilităţii ne indică de fiecare dată să alegem celălalt plic, însă, totuşi, nu are sens ca de fiecare dată să comutăm, adică să alegem celălalt plic. Ceva pare in neregulă.

Au fost efectuate peste 20 000 de simulări, în urma cărora, utilizându-se această strategie, jucătorul întotdeauna a avut de câştigat. Astfel, alegerea unei strategii deterministice de comutare, când un jucător comută ori de câte ori valoarea primului plic este mai mică decât valoarea unui prag prestabilit, duce la un câştig în comparaţie cu a nu comuta niciodată. Trebuie să precizez că vorbim de câştiguri pe termen lung. Nu incercaţi să testaţi strategia utilizând doar câteva zeci sau sute de variante.

Această strategie este rezultatul recentelor progrese din cadrul fizicii, ingineriei şi economiei. De exemplu, în teoria controlului stocastic si determinist, comutând între doua stări instabile, poate rezulta una stabilă.

Ne putem referi in acest context şi la paradoxul lui Parrondo. În ce constă acesta ? Se construiesc două jocuri, X şi Y. Oricine ar juca unul din cele două jocuri va pierde întotdeauna. Dar, dacă cele două vor fi combinate şi se va juca o secvenţă RANDOM (X,Y), adică XXYY, XXXYYY etc. se va câştiga. Demonstraţia se bazează pe proprietăţile lanţurilor Markov.

O altă similitudine se regăseşte în cadrul investiţiilor financiare pe piaţa de valori, unde, comutând între investiţiile sărace, se poate ajunge in final la câştigarea unei mari sume de bani.

[www.stiinta.info]

Comentarii

Adauga un comentariu

Adauga un comentariu

This is a captcha-picture. It is used to prevent mass-access by robots. (see: www.captcha.net)
Introdu codul:
Numele dumneavoastra:
Comentariu. Atentie, salveaza textul inainte de a-l trimite, ca o precautiune... Poti selecta tot comentariul cu CTRL-A si copia cu CTRL-C:
 
  • June 15, 2010, 12:11 am - Criss

    RAdu, eu zic ca ar fi bine sa mai si judecam inainte sa dam comentarii aiurea, mai ales in fata unor oameni care par pregatiti, cum este Adrian. In problema se specifica faptul ca ai doua plicuri din care unul din ele are dublu fata de celalalt. IN momentul in care tu alegi unul din ele si descoperi suma, fie ea 10 lei ca in problema lui Adrian, fie 1 dolar ca in problema de pe wikipedia, tu nu ai de unde sa stii daca ai ales plicul cu mai multi bani sau cel cu mai putini bani. De aici apar umrtoarele doua posibilitati: fie ai ales plicul cu mai multi bani si atunci se pune intrebarea: nu cumva celalalt plic are doar 5 lei, sau ai ales de fapt plicul cu mai putini bani, si in acest caz celalalt plic are 20 de lei. Este aceeasi problema, iar rezolvarea este una perfecta. Si pe wikipedia zice clar ca valoarea asteptata este de 5/4. Mai citeste o data.


  • June 2, 2010, 9:39 am - Andrei

    Rezolvarea e bine mai omule.

    Daca iei A=10, 2A=20 si A/2=5, nu ia nimeni diferit.


  • April 9, 2010, 7:37 pm - Radu

    Imi pare rau sa va zic, dar rezolvarea de mai sus e eronata.
    Indiferent de decizie sansele tot 50-50% vor fi. Dvstra faceti media a doua variabile aleatoare. Valoarea asteptata a unei variabile aleatoare se aplica la o singura variabila aleatoare...anume: un plic are X, celalalt 2X...valoarea asteptata va fi 3/2 X.

    Eroarea este ca dvstra jucati o data jocul 5-10 si o data 10-20. E incorect sa procedam asa.

    Daca nu ma credeti puteti sa verificati si in alte parti. http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem . Faptul ca deschizi un plic nu schimba cu nimic datele problemei.


  • October 15, 2009, 10:50 pm - riko

    eh cand esti in febra jocului nu te mai gandesti la probabilitati si alegi dupa alti factori: prezentatorul,publicul,emotiile,adrenalina...etc

    oricum bun articolul,nice job


  • October 15, 2009, 6:29 pm - Adrian Mititelu

    Citez din cadrul articolului: "Astfel, alegerea unei strategii deterministice de comutare, când un jucător comută ori de câte ori valoarea primului plic este mai mică decât valoarea unui prag prestabilit, duce la un câştig în comparaţie cu a nu comuta niciodată." Prin urmare, s-au efectuat si simulari in care plicul nu a fost schimbat.


  • October 15, 2009, 3:58 pm - Oleaca-matoL

    simularile s-au facut si cu "pastrarea initiala a plicului"?


  • October 15, 2009, 3:56 pm - Oleaca-matoL

    nu inteleg de ce DOAR DACA SCHIMBI plicul (dupa 20 000 simulari) ai de castigat. nu la fel se putea ca doar sa pastrezi plicul initial de fiecare data sa ai de castigat ? sau nu!


  • October 15, 2009, 12:25 pm - Adrian Mititelu

    Referindu-ma acum concret la intrebarea ta, iti pot spune ca probabilitatea de aparitie a uneia sau alteia dintre valori este de 50%. Sa luam cel mai simplu exemplu: cap sau pajura. Daca, sa zicem, dupa 10 000 de incercari de dat cu banul, de 5 100 ori a picat capul si de 4 900 ori pajura, conform rationamentului tau, probabilitatile s-au schimbat din 50% cap si 50% pajura, in 51% cap si 49% pajura. Ponderile fiecarui element (cap si pajura) in total incercari, dupa foarte multe simulari, asta pentru ca distributia sa fie relevanta, nu trebuie sa fie neaparat egale, ele tind catre un echilibru, catre simetrie, neexistand o deviatie mare de la punctul de echilibru. De-abia dupa o infinitate de incercari am ajunge la egalitate, la un echilibru perfect. In cazul nostru, ceea ce difera de exemplul dat mai sus, este faptul ca, intotdeauna, la finalul simularilor, "avantajata" va fi situatia in care schimbi plicul si nu cea in care nu o faci. In exemplul nostru, la finalul incercarilor, atat capul cat si pajura puteau fi "triumfatori".


  • October 15, 2009, 11:56 am - Adrian Mititelu

    Oleaca-matoL! Problema e mult mai complexa decat pare, asa cum am si subliniat in cadrul articolului. Strategia a fost explicata in termeni de rupere a simetriei. Inainte ca plicul sa fie deschis, situatia era simetrica. Aveam doua plicuri despre care stiam doar ca x=2y sau y=2x (x si y fiind sumele din cele doua plicuri). Nu aveam absolut niciun motiv care sa ma determine sa schimb sau sa pastrez plicul ales. Odata cu deschiderea plicului, simetria a fost rupta, iar alegerea va fi determinata de valoarea plicului initial si de media ponderata a posibilelor valori din plicul al 2-lea.


  • October 15, 2009, 5:44 am - Singaporistul

    red /black = 50 %
    red,red,red,red,red,red,red,red,red,red /black = aproape de 95%

    mergi pe aceeasi culoare, dublezi si daca insisti de ajuns o sa castigi bani inapoi plus un mic profit.
    Pariezi 10, daca pierzi pariezi 20, daca pierzi pariezi 40 si tot asa. La final cand castigi itzi recuperezi banii si duar 10 dolari extra. Dupa care incepi din nou de la 10 dolari. Daca itzi permitzi si te lasa, pariezi triplu si atunci castigul e mult mai mare.

    merge in cazinou, eu am castigat pe acest system. Am jucat la zaruri (mare/mica) pentru ca la ruleta dealerul te poate face sa pierzi iar cele electronice sunt controlate de soft. Am studiat systemul cam acum un an, chiar am scris un program sa calculeze probabilitatea si ruleze cateva milioane de iteratzii pentru a il testa. Se pare ca acest sistem este vechi de cam 1000 de ani dar cazinourile stiu de el si de aceea au limita minima si maxima de pariu, de exemplu 10 dolari minim si limita 200 dolari maxim. Cu aceasta limita potzi juca 5 “double or nothing” (160 dolari ) dar potzi sa pierzi 310 iar probabilitatea nu e chiar buna. La 10 jocuri probabilitatea ajunge la 95%. Pentru a imi marii probabilitatea jucam cu un prieten si cand ajungea la 160 el compensa pana la 320; si incepeam pariul dupa una sau 2 consecutive. Astfel in loc de 5 double consecutive ajungeam la 8.
    Dupa 2 ore de jucat am castigat duar 60 de dolari dar de 2 ori am fost cat pe ce sa pierd 400 dolari.


  • October 15, 2009, 12:01 am - Oleaca-matoL

    sa inteleg ca probabilitatea de apariţie a uneia sau alteia dintre valori nu mai e de 50 %? ("Au fost efectuate peste 20 000 de simulări, în urma cărora, utilizându-se această strategie, jucătorul întotdeauna a avut de câştigat.")


  • October 14, 2009, 7:58 pm - Adrian Mititelu

    Nu-ti sugerez sa incerci strategia in jocurile de noroc :)


  • October 14, 2009, 7:52 pm - leonard ionut

    foarte inteligent si util...